隐式技巧

隐式技巧是数独求解中的重要方法，通过分析候选数在区域中的分布来发现消除机会。类似于显集，隐集是解决数独谜题的核心解题方法。

隐单

隐单 (Hidden Single，也被译为排除) 是指当一个候选数在某个区域内只出现在一个格子中时，根据数独规则，该区域中必须要填入这个数字一次，所以这个数字只能填在这个格子里。

图中列A （蓝色区域）的候选数 2 只出现在格子 A5 中，根据数独规则，列A 中必须要填一个 2 ，所以 A5 中必须填 2 。因为格子 A5 中有多个候选数，答案比较隐蔽，所以叫隐单。

隐集

隐集 (Hidden Set 或 Hidden Subset，也被译为隐性数组) 是指在同一区域中，如果 n 个候选数只出现在 n 个格子中，其中 $1 \leq n \leq 8$ ，显然这 n 个数字只能填这 n 个格子里，所以这些格子中的其它候选数可以全部消除。

隐单可以看作是隐集的特殊情况，当 $n = 1$ 时。

隐双

隐双 (Hidden Pair，也被译为隐性二数组、隐性数对) 是隐集 $n = 2$ 的情况。也就是， 2 个候选数只出现在 2 个格子中。

图中宫9 （蓝色区域）中，候选数 6 和 8 只出现在格子 G7 和 I9 中，所以，这 2 个数字只能填在这 2 个格子里，所以， G7 和 I9 中的其它候选数可以全部消除。

图中行1 （蓝色区域）中，候选数 7 和 9 只出现在格子 B1 和 G1 中，所以，这 2 个数字只能填在这 2 个格子里，所以， B1 和 G1 中的其它候选数可以全部消除。

隐三

隐三 (Hidden Triple，也被译为隐性三数组) 是隐集 $n = 3$ 的情况。也就是， 3 个候选数只出现在 3 个格子中。

图中宫3 （蓝色区域）中，候选数 1 、 5 和 9 只出现在格子 G2 、 I2 和 G3 中，所以，这 3 个数字只能填在这 3 个格子里，所以， G2 、 I2 和 G3 中的其它候选数可以全部消除。

图中行1 （蓝色区域）中，候选数 3 、 7 和 8 只出现在格子 B1 、 D1 和 F1 中，所以，这 3 个数字只能填在这 3 个格子里，所以， B1 、 D1 和 F1 中的其它候选数可以全部消除。

隐四

隐四 (Hidden Quadruple，也被译为隐性四数组) 是隐集 $n = 4$ 的情况。也就是， 4 个候选数只出现在 4 个格子中。

图中宫7 （蓝色区域）中，候选数 3 、 6 、 7 和 9 只出现在格子 A7 、 B7 、 A8 和 B8 中，所以，这 4 个数字只能填在这 4 个格子里，所以， A7 、 B7 、 A8 和 B8 中的其它候选数可以全部消除。

图中宫1 （蓝色区域）中，候选数 1 、 3 、 8 和 9 只出现在格子 A1 、 A2 、 B2 和 C2 中，所以，这 4 个数字只能填在这 4 个格子里，所以， A1 、 A2 、 B2 和 C2 中的其它候选数可以全部消除。

如何发现隐集

识别隐集的关键步骤：

观察候选数分布 ：在一个区域中，找出只出现在少数几个格子中的候选数
检查数量匹配 ：检查是否有 n 个数字只出现在 n 个格子中：
- 1 个数字只出现在 1 个格子中 → 隐单
- 2 个数字只出现在 2 个格子中 → 隐双
- 3 个数字只出现在 3 个格子中 → 隐三
- 4 个数字只出现在 4 个格子中 → 隐四
消除其他候选数 ：一旦找到隐集，从这些格子中删除隐集数字以外的候选数

使用技巧

从小到大搜索 ：先寻找隐单，再寻找隐双，依此类推
重点关注限制性候选数 ：优先观察只出现在少数几个格子中的候选数
结合显集技巧 ：隐集和显集技巧相辅相成，可以交替使用

显集和隐集的互补关系

你可能会好奇：为什么在各种数独技巧例子中，从来没有见过显五、隐五这些技巧的例子呢？

这是因为，在数独中，显集和隐集是一对互补的概念，也可以理解为，同一个消除逻辑的两种不同表达方式。当我们在一个区域中发现显集时，其它候选数会自然形成隐集；反之，当我们发现隐集时，区域中未填写数字的其它格子也会形成显集，并且他们消除的候选数是一样的。

例子1：显三与隐三互补

显集视角： 显集隐集互补示例1-显集

图中行5 存在一个显三：格子集 $\{B5, C5, F5\}$ 包含候选数集 $\{1, 7, 8\}$ 。

隐集视角： 显集隐集互补示例1-隐集

同一状态下，从隐集角度观察：行5 存在一个隐三：候选数集 $\{3, 5, 6\}$ 只出现在格子集 $\{D5, G5, H5\}$ 中。

可以观察到，两种视角消除的候选数完全相同。

例子2：隐三与显四互补

隐集视角： 显集隐集互补示例2-隐集

图中行2 存在一个隐三：候选数集 $\{4, 5, 9\}$ 只出现在格子集 $\{A2, B2, F2\}$ 中。

显集视角： 显集隐集互补示例2-显集

同一状态下，从显集角度观察：行2 存在一个显四：格子集 $\{D2, G2, H2, I2\}$ 包含候选数集 $\{1, 2, 3, 6\}$ 。

可以观察到，它们消除的候选数也是一样的。

如何找互补集合

无论你已经找到的是隐集还是显集，同区域中，其它未填写数字的格子，就是它的互补集合所在的格子。

隐式技巧理论（选学）

隐集的定义

隐集（广义，包含隐单）是指在一个区域 $R$ 中存在非空候选数集 $S$ ，这些数字仅出现在该区域的格子集 $C$ 中，且 $|C| = |S|$ 。

隐集技巧的证明

命题：在区域 $R$ 中，若存在候选数集 $S$ ，这些候选数在区域 $R$ 中所在的格子集合为 $C$ ，形成隐集，则：

$S$ 中的数字将填入 $C$ 中的格子，且每个数字正好填写一次
格子集 $C$ 中不属于 $S$ 的候选数可以被消除

证明：

根据隐集的定义， $S$ 中的候选数在区域 $R$ 中只出现在 $C$ 中的格子里

根据数独规则，可以知道， $S$ 中的每个数字必须填入 $C$ 中的某个格子。

又因为 $|S| = |C|$ ，且每个格子只能填一个数字，所以 $S$ 中的每个数字正好填入 $C$ 中的一个格子。

所以， $C$ 中不可能填写 $S$ 以外的数字。

所以， $C$ 中格子里不属于 $S$ 的候选数都可以被消除。

互补关系

显集的补集为隐集的证明

命题：

在区域 $R$ 中，设 $C_U$ 为该区域内未填写数字的格子集合，其候选数集合为 $S_U$ ，显然有 $| C_U | = | S_U|$ 。若 $C_U$ 中的子集 $C_N \subseteq C_U$ 构成一个显集，其候选数集合为 ${S_N}$ ，设剩余的格子集合为 $C_H = C_U \setminus C_N$ ，设剩余的候选数 $S_H = S_U \setminus S_N$ ，则候选数集合 $S_H$ 在格子集 $C_H$ 中形成隐集。

证明：

注意， $S_H$ 并不是 $C_H$ 的候选数集合

根据 $S_H$ 的定义，我们知道 $S_H$ 中的数字未出现在已填的格子中，也未出现在 $C_N$ 中。所以 $S_H$ 中的候选数在区域 $R$ 中只出现在 $C_H$ 中。

而

$|C_H| = |C_U \setminus C_N| = |C_U| - |C_N|$

$|S_H| = |S_U \setminus S_N| = |S_U| - |S_N|$

因为 $|S_U| = |C_U|$

另外，根据显集的定义， $|S_N| = |C_N|$

所以 $|S_H| = |C_H|$

所以 $S_H$ 中的候选数在区域 $R$ 中只出现在 $C_H$ 中，且 $|S_H| = |C_H|$ ，这就是隐集的定义。

所以候选数集合 $S_H$ 在格子集 $C_H$ 中形成隐集。

隐集的补集是显集的证明

命题：

在区域 $R$ 中，设 $C_U$ 为该区域内所有未填写数字的格子集合，其候选数集合为 $S_U$ ，显然有 $| C_U | = | S_U|$ 。若候选数集合为 $S_H$ 中在 $C_U$ 中形成隐集，设剩余的格子集合为 $C_N = C_U \setminus C_H$ ，则 $C_N$ 是显集。

证明：

设 $C_N$ 的候选数集合为 $S_N$

根据隐集的定义， $S_H$ 中的候选数在区域 $R$ 中只出现在 $C_H$ 中

所以这些候选数没有出现在 $C_N$ 中

所以 $S_H \cap S_N = \emptyset$

所以 $S_N \subseteq S_U \setminus S_H$

现在我们来计算一下集合大小:

$|C_N| = |C_U \setminus C_H| = |C_U| - |C_H|$

因为 $S_N \subseteq S_U \setminus S_H$ , 所以：

$|S_N| <= |S_U \setminus S_H| = |S_U| - |S_H|$

因为 $|S_U| = |C_U|$

另外，根据隐集的定义， $|S_H| = |C_H|$

所以 $|S_N| <= |S_U| - |S_H| = |C_U| - |C_H| = |C_N|$

显然，如果 $|S_N| < |C_N|$ ，数独无解，所以：

$|S_N| = |C_N|$ 。

这就是显集的定义。所以 $C_N$ 为显集。