唯一矩形（选学）

什么是唯一矩形

唯一矩形（Unique Rectangle）是指一个由4个格子组成的矩形，分布在2行、2列和2个宫中，这4个格子的候选数相同，且为2个候选数。

显然，这4个格子有2中可能性，都可以满足数独的规则，所以会产生多解。

唯一矩形 1类

唯一矩形 1类：唯一矩形只有1个格子有额外候选数，则可以消除这个格子中的唯一矩形的数字。

原理：如果消除这个格子中的额外候选数，将会形成唯一矩形，谜题将具有多个解。所以，这个格子中的唯一矩形的数字可以消除。

例子：

唯一矩形 2类

唯一矩形具有多个格子有额外候选数，且额外候选数是同一个数字，则同时可以看到这些额外候选数的格子的格子中的这个候选数可以消除。

原理：如果消除这些格子中的额外候选数，将会形成唯一矩形，谜题将具有多个解。所以，其中至少有一个格子需要填写这个数字。所以，任何可以同时看到这些格子的格子中的这个候选数可以消除。

例子：

唯一矩形 3类

唯一矩形 3类：唯一矩形具有至少一个格子有额外候选数，且这些具有额外候选数的格子在同一个区域。我们知道，如果消除掉这些额外候选数，则谜题将具有多个解。所以，其中至少有一个格子要填写额外候选数中的一个数字。我们拿那个格子和配合区域中的若干个其他格子，组成一个显集，则可以消除除显集和这些具有额外格子之外的显集中的候选数。

例子：

唯一矩形 4类

唯一矩形有2个格子有额外候选数，且这两个格子在同一个区域内。如果其中一个唯一矩形候选数在区域中只出现在这两个格子中，则这两个格子中的另外一个唯一矩形候选数可以消除。

原理：如果消除这两个格子中的额外候选数，将会形成唯一矩形，谜题将具有多个解。所以这两个格子至少有一个要填写额外候选数中的一个数字。因为唯一矩形中的一个候选数在区域中只存在于这两个格子中，所以，它必须填写在另外一个格子中。所以，这两个格子中不可能填写另外一个唯一矩形候选数。

例子：

唯一矩形 6类

唯一矩形中存在2个格子有额外候选数，且这两个格子相互不可见。此时，一个唯一矩形候选数，满足对于任何一个唯一矩形格子，存在一个区域使得该候选数仅唯一矩形的格子中。则包含额外候选数的格子中的这个候选数可以消除。

原理：

如果消除这两个格子中的额外候选数，将会形成唯一矩形，谜题将具有多个解。所以这两个格子至少有一个要填写额外候选数中的一个数字。

我们从那个需要填写额外候选数的格子（虽然我们不知道是哪个）出发，它可以看到唯一矩形的另外两个格子。

根据条件，存在两个区域，分别会包含这个格子和另外两个格子中的一个，且区域中这个唯一候选数只存在于唯一矩形格子中。那么，我们可以知道，另外两个格子必须填写这个候选数。

所以，出发的格子的对角格子不可能填写这个候选数，因为它也可以看到另外两个格子。

所以，出发的格子和对角的格子都不会包含这个候选数。

所以，这个候选数可以从这两个格子中消除。

例子：

隐藏矩形

唯一矩形中存在一个格子不包含额外候选数。从这个格子对角的格子出发，存在一个唯一候选数，对于它看得到的两个唯一矩形格子，分别存在一个区域包含出发格子和这个它看到的格子，使得这个唯一候选数在区域中不出现在唯一矩形的格子之外。则出发格子中的另外一个唯一矩形候选数可以消除。

原理：

首先，类似于之前的推理，我们知道包含额外候选数的格子中至少有一个要填写其中的一个额外候选数，否则谜题将会具有多个解。

设这两个唯一候选数分别为$s_1$ 和 $s_2$。其中，条件中给出的那个候选数为$s_1$，要证明可以消除的那个为$s_2$。

使用反证法，假设出发的格子填写$s_2$。

因为我们知道，条件中的2个区域，都必须填写$s_1$在我们的唯一矩形格子中，而出发格子没填，所以，它能看到的那两个唯一矩形格子中必填$s_1$。

这样导致了一个问题，这3个格子中都没有填写额外候选数，而最后一个唯一矩形格子不包含额外候选数（这是条件）。所以，没有格子填写了额外候选数，这是矛盾的。

例子：

唯一矩形理论（选学）

唯一矩形的定义

格子集合$C$具有4个格子，且这些格子的候选数集合都是$S$，且$|S| = 2$。对于任意区域$R$，满足$|R \cap C| = 0$或$|R \cap C| = 2$。则认为$C$是一个唯一矩形。

唯一矩形产生多个解的证明

命题：如果谜题中存在上述唯一矩形，谜题将产生多个解。

证明：

使用反证法。

假设谜题具有唯一解。

那么，我们将这4个格子中填写的数字都替换为另外一个候选数。看看是否符合数独的规则。

而看是否符合规则，等价于看每个区域是否每个数字恰好填写一次的规则。

对于任意区域$R$

1. 如果$|R \cap C| = 0$，则替换前后$R$中的内容没改变，所以替换后仍然符合规则。

2. 如果$|R \cap C| = 2$。假设这两个格子是$c_1$和$c_2$。我们知道在唯一解中，$c_1$和$c_2$中的数字分别为$S$中的一个数字和另外一个数字。对于区域$R$来说，替换后相当于是将$c_1$和$c_2$中填写数字对调。所以，每个数字在区域中仍然恰好填写一次。也就是替换后仍然符合规则。

所以，谜题具有另外一个解，矛盾。

所以，谜题不可能具有唯一解。

所以，谜题具有多个解。